Олимпиадные задачи из источника «36 турнир (2014/2015 год)»
36 турнир (2014/2015 год)
НазадВсе грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?
На основании <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> взяли произвольную точку <i>X</i>, а на боковых сторонах – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>XPBQ</i> – параллелограмм. Докажите, что точка <i>Y</i>, симметричная точке <i>X</i> относительно <i>PQ</i>, лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отметили точку <i>E</i> так, что <i>CD = CE</i>.
Докажите, что прямая <i>DE</i> перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков <i>AE</i> и <i>BC</i>.
Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при эт...
Император пригласил на праздник 2015 волшебников, добрых и злых, при этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император – нет. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой говорит что угодно. На празднике император сначала выдаёт каждому волшебнику по бумажке с вопросом (требующим ответа "да" или "нет"), затем волшебники отвечают, и после всех ответов император одного изгоняет. Волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. После этого император вновь выдаёт каждому из оставшихся волшебников по бумажке с вопросом, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (это возможно после любого из ответов, и после остановки можно никого не изгонять). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебни...
а) В таблицу 2×<i>n</i> (где <i>n</i> > 2) вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.
б) В таблицу 100×100 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?
Внутри окружности расположен равносторонний <i>N</i>-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2<i>N</i> полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.
а) В таблицу 2×<i>n</i> (где <i>n</i> > 2) вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.
б) В таблицу 10×10 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?
Каждая сторона некоторого многоугольника обладает таким свойством: на прямой, содержащей эту сторону, лежит ещё хотя бы одна вершина многоугольника. Может ли число вершин этого многоугольника
а) не превосходить девяти;
б) не превосходить восьми?
а) Натуральные числа <i>x, x</i>² и <i>x</i>³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?
б) Тот же вопрос для натуральных чисел <i>x, x</i>², <i>x</i>³, ..., <i>x</i><sup>2015</sup>.
Секретная база окружена прозрачным извилистым забором в форме невыпуклого многоугольника, снаружи – болото. Через болото проложена прямая линия электропередач из 36 столбов, часть из которых стоит снаружи базы, а часть – внутри. (Линия электропередач не проходит через вершины забора.) Шпион обходит базу снаружи вдоль забора так, что забор всё время по правую руку от него. Каждый раз, оказавшись на линии электропередач, он считает, сколько всего столбов находится по левую руку от него (он их все видит). К моменту, когда шпион обошёл весь забор, он насчитал в сумме 2015 столбов. Сколько столбов находится внутри базы?
По кругу записывают 2015 натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший общий делитель.
Найдите наибольшее натуральное <i>N</i>, на которое гарантированно будет делиться произведение этих 2015 чисел.
Точки <i>K</i> и <i>L</i> делят медиану <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> на три равные части, точка <i>K</i> лежит между <i>L</i> и . Отметили точку <i>P</i> так, что треугольники <i>KPL</i> и <i>ABC</i> подобны, причём <i>P</i> и <i>C</i> лежат в одной полуплоскости относительно прямой <i>AM</i>. Докажите, что <i>P</i> лежит на прямой <i>AC</i>.
Ковёр имеет форму квадрата со стороной 275 см. Моль проела в нем четыре дырки. Можно ли гарантированно вырезать из ковра квадратный кусок со стороной 1 м, не содержащий дырок? Дырки считайте точечными.
Петя сложил 100 последовательных степеней двойки, начиная с некоторой, а Вася сложил некоторое количество последовательных натуральных чисел, начиная с 1. Могли ли они получить один и тот же результат?
Дано 2<i>n</i> + 1 число (<i>n</i> – натуральное), среди которых одно число равно 0, два числа равны 1, два числа равны 2, ..., два числа равны <i>n</i>. Для каких <i>n</i> эти числа можно записать в одну строку так, чтобы для каждого натурального <i>m</i> от 1 до <i>n</i> между двумя числами, равными <i>m</i>, было расположено ровно <i>m</i> других чисел?
На какое наименьшее количество квадратов можно разрезать лесенку из 15 ступеней (см. рисунок)? Резать можно только по границам клеток. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65152/problem_65152_img_2.gif"></div>
Петя сложил 10 последовательных степеней двойки, начиная с некоторой, а Вася сложил некоторое количество последовательных натуральных чисел, начиная с 1. Могли ли они получить один и тот же результат?
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>KL = BC</i> и <i>AK = LB</i>.
Докажите, что отрезок <i>KL</i> виден из середины <i>M</i> стороны <i>AC</i> под прямым углом.
Можно ли раскрасить грани куба в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал, но нельзя было увидеть одновременно грани всех трёх цветов, откуда бы мы ни взглянули на куб? (Одновременно можно увидеть только три любые грани, имеющие общую вершину.)
В некотором государстве ценятся золотой и платиновый песок. Золото можно менять на платину, а платину на золото по курсу, который определяется натуральными числами <i>g</i> и <i>p</i> так: <i>x</i> граммов золотого песка равноценны <i>y</i> граммам платинового, если <i>xp = yg</i> (числа <i>x</i> и <i>y</i> могут быть нецелыми). Сейчас у банкира есть по килограмму золотого и платинового песка, а <i>g = p</i> = 1001. Государство обещает каждый день уменьшать одно из чисел <i>g</i> и <i>p</i> на единицу, так что через 2000 дней они оба станут единицами; но последовательность уменьшений неизвестна. Может ли банкир каждый день менять песок так, чтобы в конце гарантиров...
На столе лежал проволочный треугольник с углами <i>x</i>°, <i>y</i>°, <i>z</i>°. Хулиган Коля согнул каждую сторону треугольника на один градус, в результате чего получился невыпуклый шестиугольник c внутренними углами (<i>x</i> – 1)°, 181°, (<i>y</i> – 1)°, 181°, (<i>z</i> – 1)°, 181°. Докажите, что точки сгиба делили стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.
Петя подсчитал количество всех возможных <i>m</i>-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2<i>m</i>-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, CA, AB</i>в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Прямые <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i> пересекаются в точке <i>G</i>. Описанная окружность треугольника <i>GA'B'</i>, вторично пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>C<sub>A</sub></i> и <i>C<sub>B</sub></i>. Аналогично определяются точки <i>A<sub>B</sub>, A<sub>C</sub>, B<sub>C</sub>, B<sub>A</sub></i>. Докажите, что точки <i>A<sub>B</sub>, A<sub>C</sub>, B<sub>C</sub>...