Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс»

Даны <i>N</i> прямоугольных треугольников. У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что у всех исходных треугольников одно и то же отношение большего катета к меньшему, если

  а)  <i>N</i> = 2;

  б)  <i>N</i> – любое натуральное число, большее 1.

С начала учебного года Андрей записывал свои оценки по математике. Получая очередную оценку (2, 3, 4 или 5), он называл её <i>неожиданной</i>, если до этого момента она встречалась реже каждой из всех остальных возможных оценок. (Например, если бы он получил с начала года подряд оценки 3, 4, 2, 5, 5, 5, 2, 3, 4, 3, то неожиданными были бы первая пятерка и вторая четвёрка.) За весь учебный год Андрей получил 40 оценок – по 10 пятерок, четвёрок, троек и двоек (неизвестно, в каком порядке). Можно ли точно сказать, сколько оценок были для него неожиданными?

На стороне <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечена точка <i>K</i>, а на стороне <i>BC</i> – точка <i>L</i> так, что  <i>KB = LC</i>. Отрезки <i>AL</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>.

Докажите, что отрезки <i>DP</i> и <i>KL</i> перпендикулярны.

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя

  а) ровно в шесть раз;

  б) ровно в пять раз?

Есть 99 палочек с длинами 1, 2, 3, ..., 99. Можно ли из них сложить контур какого-нибудь прямоугольника?