Решение 1:   По теореме Птолемея для четырёхугольников ABCD и ABEF  AC·BD = AB·CD + BC·AD  и  AE·BF = AB·EF + AF·BE.  Перемножив эти равенства и учитывая условия задачи, получим

    AE·BD·AC·BF = AB²·CD·EF + BC·AF·AD·BE + AB·AF·CD·BE + AB·BC·EF·AD =

        = AB²·CD·EF + BC·AF·AD·BE + 2(AB·AF·DE·BC + AB·BC·FA·DE) = AB²·CD·EF + BC·AF·AD·BE + 4AB·BC·AF·DE.    (1)

  По теореме Птолемея для четырёхугольников ABCF и ABDE  AC·BF = AB·CF + BC·AF = 3BC·AF  и   AD·BE = AB·DE + AE·BD.  Подставив в (1), получим  3(AD·BE – AB·DE)·BC·AF = AB²·CD·EF + BC·AF·AD·BE + 4AB·BC·AF·DE,  или  AB²·CD·EF – 2BC·AF·AD·BE + 7AB·BC·AF·DE = 0.    (2)

  Перемножив два равенства из условия, получим  CD·EF·BE·AD = 4DE²·BC·AF.  Подставив в (2), умноженное на  CD·EF,  получим

AB²·(CD·EF)² – 8(BC·AF·DE)² + 7AB·BC·DE·AF·CD·EF = 0.

  Обозначив  x = AB·CD·EF > 0,  a = BC·DE·AF > 0,  получим  x² + 7ax – 8a² = 0.  Единственный положительный корень этого квадратного уравнения равен a, следовательно,  AB·CD·EF = BC·DE·AF.  По теореме Чевы для вписанного шестиугольника (см. задачу 135216) отсюда следует, что диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Решение 2:   Рассмотрим сначала частный случай: A, C, E – вершины правильного треугольника. Можно считать, что радиус окружности равен 1, тогда  

  Равенства из условия можно записать через двойные отношения:  (ACBF) = (CEDB) = (EABC) = –2.  Пусть  AB·CD·EF = 2kBC·DE·FA,  тогда из условия следует, что  AB·CD = kBC·AD,  то есть  (BDCA) = –k.  Аналогично  (DFEC) = (FBAE) = –k.

  Проведём проективное преобразование, переводящее точки A, B, C в точки C, D, E соответственно. В силу равенства  (ACBF) = (CEDB)  точка F перейдёт в B. Аналогично доказывается, что точки D и E переходят в F и A соответственно. Поскольку проективное преобразование однозначно определяется образами C, E, A точек A, C, E, то оно является поворотом на 120°. Следовательно,  AB = CD = EF = x,  BC = DE = FA = y.

  По условию  xCF = 2y²,  по теореме Птолемея  BC·AF + AB·CF = AC·BF = 3,  то есть  3y² = 3.  Отсюда  y = 1,  то есть шестиугольник ABCDEF – правильный.

  В общем случае рассмотрим проективное преобразование, переводящее точки A, C, E в вершины A', C', E' правильного треугольника. По доказанному выше шестиугольник A'B'C'D'E'F' – правильный, поэтому  (D'F'E'C') = –2.  Следовательно, и  (DFEC) = –2.  Равенство

(ACBF) = (DFEC)  можно записать в виде  AB·CD·EF = BC·DE·AF.  Как и в решении 1 отсюда следует утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует