Если шар вылетает вдоль борта, то он сваливается в ближайшую лузу. В противном случае угол α между первым отрезком пути шара и стороной AB – не "целый" (меньше 1°). Покажем по индукции, что каждый из отрезков пути (а точнее – продолжающая его прямая) составляет с AB угол вида  2n° ± α,  где n – целое (это верно и при замене угла на смежный). Действительно, отрезки пути перед и после отражения от прямой XY лежат на симметричных относительно XY прямых, поэтому угол между отрезком и прямой AB равен углу между отражённым отрезком и прямой A'B', симметричной AB относительно XY. Поскольку по условию угол φ между AB и XY составляет целое число градусов, а прямая AB при симметрии повернётся на 2φ, то и угол между отрезком и прямой AB изменится на чётное число градусов (знак перед α меняется при переходе к смежному углу).

  Из доказанного следует, что шар всегда будет образовывать нецелые (в градусах) углы со сторонами, в частности, не пойдёт вдоль бортов и не отразится под прямым углом.

  Предположим, что шар вернулся в A. Но внутри угла с вершиной A только один выходяший из A отрезок составляет нужный угол с AB – стартовое звено (углы вида  2n° – α > 1°,  так как  α < 1°).  Поэтому вернуться в вершину шар может только по той же прямой, по которой вылетел. Далее см. решение задачи 205177.

Ответ задачи отсутствует