Проекция квадрата на плоскость грани ABCD является параллелограммом, а по теореме о трёх перпендикулярах – это даже прямоугольник KLM'N' (рис. слева).

  Поскольку противоположные вершины прямоугольника лежат на противоположных сторонах квадрата, то центр прямоугольника лежит на пересечении средних линий квадрата, то есть совпадает с центромОквадратаABCD.   Окружность с центромОи диаметром, равным диагонали прямоугольника, пересекает каждую сторону квадрата не более чем в двух точках. Ясно, что возможны четыре вписанных в квадрат прямоугольника с этими вершинами: в двух из них диагонали прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, в двух других прямоугольник является квадратом (рис справа). В нашей ситуации последнее невозможно, так как  KN' < KN = KL.   Пусть  KL = KN = a,  AK = AN' = x,  тогда  BK= 1 –x  (рис. слева). Из прямоугольного треугольникаKNN' a² = 2x² + 1,  а из прямоугольного треугольникаKBL  a² = 2(1 –x)² = 2 – 4x+ 2x².  Отсюда  2 – 4x= 1, x= ¼.  Значит,  S_KLMN = a² =⁹/₈.

1,125.