Олимпиадные задачи из источника «2016/2017»
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна <sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Докажите, что cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
Трапеция с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> описана вокруг окружности, <i>E</i> – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол <i>AED</i> не может быть острым.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали <i>АС</i> и <i>BD</i> равны, а серединный перпендикуляр к стороне <i>ВС</i> проходит через середину стороны <i>AD</i>.
Могут ли длины всех сторон четырёхугольника быть различными?
Бригада из нескольких рабочих за 7 полных дней может выполнить такое же задание, какое может выполнить эта же бригада без двух человек за несколько полных дней, и такое же, как без шести человек за несколько полных дней. Сколько рабочих в бригаде? (Производительность рабочих одинаковая.)
Зубной врач запретил Соне съедать больше <i>десяти</i> карамелек в день, причём, если в какой-то день она съедает больше <i>семи</i> карамелек, то в следующие два дня ей нельзя съедать более <i>пяти</i> карамелек за день. Какое наибольшее количество карамелек Соня сможет съесть за 25 дней, следуя указаниям зубного врача?
Внутри квадрата отмечена произвольная точка <i>М</i>. Можно ли этот квадрат разрезать не более чем на три прямоугольника, и сложить из них квадрат так, чтобы точка <i>М</i> стала его центром? (Разрезы не должны проходить через точку <i>М</i>.)
В ряд стоят 33 девочки и каждая держит по ромашке. Одновременно каждая из девочек передаёт свою ромашку девочке, стоящей от неё через одну.
Может ли оказаться так, что у каждой девочки будет опять по одной ромашке?
На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечена точка <i>D</i>. Точка <i>Е</i> такова, что треугольник <i>BDE</i> – также равносторонний.
Докажите, что <i>CE = AD</i>.
Существуют ли 11 последовательных натуральных чисел, сумма которых равна точному кубу?
Простым или составным является число 100² + 201?
Сумма двух сторон прямоугольника равна 7 см, а сумма трёх его сторон равна 9,5 см. Найдите периметр прямоугольника.
Телёнок весит столько же, сколько козлёнок вместе с поросёнком. А поросёнок вместе с телёнком – столько же, сколько ягнёнок вместе с козлёнком.
Сколько весит поросёнок, если ягнёнок весит 30 кг?
Прямой круговой конус с радиусом основания <i>R</i> и высотой <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66011/problem_66011_img_2.gif"> положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что 3<sup><i>n</i></sup> + 2·17<sup><i>n</i></sup> является квадратом некоторого натурального числа?
Решите уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>), если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">
Назовём натуральное число убывающим, если каждая цифра в его десятичной записи, кроме первой, меньше или равна предыдущей. Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что число 16<sup><i>n</i></sup> – убывающее?
В треугольнике <i>АВС</i> проведены медиана <i>АМ</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i>.
Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника <i>АВС</i>, если <i>AL = t, AH = h</i> и <i>L</i> – середина отрезка <i>MH</i>.
Дан многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx</i>. Известно, что каждое из уравнений <i>f</i>(<i>x</i>) = 1 и <i>f</i>(<i>x</i>) = 2 имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub>, то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.
Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.
Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.
Дан куб <i>АBCDA'B'C'D'</i> c ребром 1. На его рёбрах <i>АВ, ВС, C'D'</i> и <i>D'A'</i> отмечены точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>KLMN</i> – квадрат.
Найдите его площадь.
Могут ли три различных числа вида 2<sup><i>n</i></sup> + 1, где <i>n</i> – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?
Существует ли натуральное число, меньшее ста, которое можно представить в виде суммы двух квадратов различных натуральных чисел двумя различными способами?
В остроугольном треугольнике <i>АBC</i> через центр <i>I</i> вписанной окружности и вершину <i>А</i> провели прямую, пересекающую описанную окружность в точке <i>P</i>. Найдите <i>IP</i>, если ∠<i>А</i> = α, а радиус описанной окружности равен <i>R</i>.