Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 7 класса
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали <i>АС</i> и <i>BD</i> равны, а серединный перпендикуляр к стороне <i>ВС</i> проходит через середину стороны <i>AD</i>.
Могут ли длины всех сторон четырёхугольника быть различными?
Бригада из нескольких рабочих за 7 полных дней может выполнить такое же задание, какое может выполнить эта же бригада без двух человек за несколько полных дней, и такое же, как без шести человек за несколько полных дней. Сколько рабочих в бригаде? (Производительность рабочих одинаковая.)
Зубной врач запретил Соне съедать больше <i>десяти</i> карамелек в день, причём, если в какой-то день она съедает больше <i>семи</i> карамелек, то в следующие два дня ей нельзя съедать более <i>пяти</i> карамелек за день. Какое наибольшее количество карамелек Соня сможет съесть за 25 дней, следуя указаниям зубного врача?
Внутри квадрата отмечена произвольная точка <i>М</i>. Можно ли этот квадрат разрезать не более чем на три прямоугольника, и сложить из них квадрат так, чтобы точка <i>М</i> стала его центром? (Разрезы не должны проходить через точку <i>М</i>.)
В ряд стоят 33 девочки и каждая держит по ромашке. Одновременно каждая из девочек передаёт свою ромашку девочке, стоящей от неё через одну.
Может ли оказаться так, что у каждой девочки будет опять по одной ромашке?
На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечена точка <i>D</i>. Точка <i>Е</i> такова, что треугольник <i>BDE</i> – также равносторонний.
Докажите, что <i>CE = AD</i>.
Существуют ли 11 последовательных натуральных чисел, сумма которых равна точному кубу?
Простым или составным является число 100² + 201?
Сумма двух сторон прямоугольника равна 7 см, а сумма трёх его сторон равна 9,5 см. Найдите периметр прямоугольника.
Телёнок весит столько же, сколько козлёнок вместе с поросёнком. А поросёнок вместе с телёнком – столько же, сколько ягнёнок вместе с козлёнком.
Сколько весит поросёнок, если ягнёнок весит 30 кг?
Известно, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> – <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>a+b</i></sub>. Докажите, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>²</sub> – <sup>1</sup>/<sub><i>b</i>²</sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>ab</i></sub>.
Даны 100 чисел. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квадратов не изменилась. Каждое число ещё раз увеличили на 1.
Изменится ли сумма квадратов на этот раз, и если да, то на сколько?