Олимпиадная задача по математике для 8–11 классов от Шаповалова А.В.: две колоды карт и сумма расстояний

Решение 1:   Занумеруем карты сверху вниз по порядку. В верхней колоде номера от 1 до 36, в нижней – от 37 до 72. Пусть i-я карта верхней колоды совпадает с k_i-й картой нижней колоды  (i = 1, 2, ..., 36).  Между ними лежит  k_i – i – 1  карта, поэтому искомая сумма  S = (k₁ – 1 – 1) + (k₂ – 2 – 1) + ... + (k₃₆ – 36 – 1).  Переставив слагаемые k₁, k₂, ..., k₃₆ по возрастанию, мы сумму не изменим. Значит,  S = (37 – 1 – 1) + (38 – 2 – 1) + ... + (72 – 36 – 1) = 36·35 = 1260.

Решение 2:   Рассмотрим самую нижнюю карту нижней колоды и такую же карту верхней колоды, пусть, например, это короли треф. Предположим, что в верхней колоде король треф лежит на семёрке бубен. Заметим, что если мы в верхней колоде поменяем местами короля треф и семёрку бубен, то количество карт, лежащих между королями треф, на одну уменьшится, а количество карт, лежащих между семёрками бубен, на одну увеличится. Значит, искомая сумма от такой перестановки не изменится. Рассуждая аналогично, можно постепенно менять местами короля треф из верхней колоды с картами, на которых он лежит, до тех пор, пока король треф не станет самой нижней картой в верхней колоде. Далее рассмотрим вторую снизу карту нижней колоды и повторим описанную процедуру с такой же картой из верхней колоды, и так далее.

  Так, постепенно меняя местами соседние карты верхней колоды, можно, не изменяя искомой суммы, расположить карты верхней колоды в том же порядке, что и в нижней. Тогда между каждыми двумя одинаковыми картами будет лежать ровно 35 карт, поэтому искомая сумма равна  35·36 = 1260.

Решение 3:   Рассмотрим по отдельности сколько раз была подсчитана каждая карта в верхней и в нижней колоде. В верхней колоде самая верхняя карта не была подсчитана ни разу, так как она не находится между какими-либо картами. Вторая сверху карта была подсчитана один раз, так находится между одной парой одинаковых карт: верхней картой верхней колоды и такой же картой нижней колоды. Следующая карта сверху подсчитана два раза, и так далее, то есть n-я сверху карта верхней колоды была подсчитана  n – 1  раз, так как находится между  n – 1  парой одинаковых карт.

  Аналогичные рассуждения справедливы и для карт нижней колоды, если "двигаться" снизу вверх: самая нижняя карта не подсчитана ни разу, лежащая на ней – один раз, ..., k-я карта снизу подсчитана  k – 1  раз.

  Таким образом, искомая сумма равна  (0 + 1 + 2 + ... + 35)·2 = 1260.