Задача
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n1, n2, ..., nk и отдельно сообщит значение выражения P(n1)P(n2)...P(nk). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
Решение
Оценка. Пусть учитель использовал некоторое k ≤ 2016, задумав многочлен P(x).
Рассмотрим многочлен P(x) = P(x) + (x – n1)(x – n2)...(x – nk). Заметим, что степень многочлена Q(x) также равна 2017, а его старший коэффициент также равен 1. При этом P(n1)P(n2)...P(nk) = Q(n1)Q(n2)...Q(nk), но P(x) ≠ Q(x).
Значит, дети могли бы найти многочлен Q(x) вместо P(x), то есть учитель не добился требуемого.
Пример. Пусть k = 2017. Положим ni = 4i при i = 1, 2, ... k; пусть учитель сообщит детям, что P(n1)P(n2)...P(nk) = 1. Тогда многочлен
P(x) = (x – n1)(x – n2)...(x – nk) + 1 под условие подходит.
Предположим, что какой-то многочлен Q(x) также подходит под условие. Тогда, так как Q(n1)Q(n2)...Q(nk) = 1 и коэффициенты многочлена Q(x) – целые числа, то Q(ni) = ±1 при любом i = 1, 2, ..., k.
Если найдутся такие i и j, что Q(ni) = 1, а Q(nj) = –1, то разность Q(ni) – Q(nj) = 2 не делится на ni – nj, что противоречит теореме Безу для целочисленных многочленов (см. задачу 135562). Поэтому все значения Q(ni) равны между собой. Однако все значения не могут быть равны –1, так как в произведении Q(n1)Q(n2)...Q(nk) множителей нечётное количество и произведение было бы равно –1. Значит, Q(ni) = 1 при любом i = 1, 2, ..., k. Тогда разность P(x) – Q(x) – многочлен степени менее k, имеющий k различных корней, то есть этот многочлен тождественно равен 0, и P(x) = Q(x).
Ответ
При k = 2017.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь