Назад

Движение центра описанной окружности треугольника CEF

Задача 166140 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

Вокруг треугольника ABC с острым углом C описана окружность. На дуге AB, не содержащей точку C, выбрана точка D. Точка D' симметрична точке D относительно прямой AB. Прямые AD' и BD' пересекают стороны BC и AC в точках E и F. Пусть точка C движется по своей дуге AB. Докажите, что центр описанной окружности треугольника CEF движется по прямой.

Авторы:
Тахаев С. Прокопенко Д.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Московская устная олимпиада по геометрии Олимпиады и турниры 15 (2017 год) 8-9 класс
Количество версий:
4
Решение

  Заметим, что четырёхугольник CED'F – вписанный. Действительно,  ∠ED'F = ∠AD'B = ∠ADB,  следовательно,

∠ECF + ∠ED'F = ∠ECF + ∠ADB = 180°  (рис. слева).

  ПустьC'– такое положение точкиCна окружности, что  C'D'⊥AB  (рис. справа). ПосколькуDиD'симметричны относительноAB, тоD'– точка пересечения высот треугольникаABC'(см. задачу155463). Пусть прямыеAD'иBD'пересекают стороныC'BиC'Aв точкахA1иB1соответственно, а описанные окружности треугольниковABCиA1B1C'пересекаются в точкеP.   ПустьM– серединаAB, а прямаяPD'повторно пересекает окружность в точкеQ. Заметим, что  ∠C'PD'= 90°,  значит, точкаQдиаметрально противоположна точкеC', то естьQсимметричнаD'относительноM(см. решение задачи208600). Следовательно,AQBD'– параллелограмм и AD' || QB.  ПосколькуPQBC– вписанный четырёхугольник,  ∠PD'E+ ∠PCE= ∠PQB+ ∠PCE= 180°.   Следовательно, все окружности, описанные около треугольниковCEF, проходят через две фиксированные точки –D'иP. Центры таких окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезкуPD'.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет