Решение 1:   а) Последовательно докажем существование такого n, что α_n меньше ⅓, ¼, ⅕, ³/₁₆.

  Если  α > ⅓,  то  α₁ < ⅓.

  Если  ¼ < α_k < ⅓,  то каждый шаг удваивает отклонение от ⅓: пусть  α_k = ⅓ – ε  (где  ε < ¹/₁₂),  тогда  α_k+1 = ⅓ + 2ε,  α_k+2 = ⅓ – 4ε.  Если это число всё ещё больше ¼, повторим процедуру...

  Если  ⅕ < α_k < ¼,  то уже  α_k+2 < ⅕.

  Если  ³/₁₆ < α_k < ⅕,  будем увеличивать отклонение от ⅕:  α_k = ⅕ – ε  (ε < ¹/₈₀),  α_k+2 = ⅕ + 4ε,  α_k+4 = ⅕ – 16ε.  Если это число всё ещё больше ³/₁₆, повторим процедуру...   б) Для построения примера нам потребуются представление чисел в виде бесконечных двоичных дробей. Как обычно, иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими дробями.

  Рассмотрим дробь  δ = 0,0000001000000010...,  где единички стоят в 7-м, 15-м, 23-м, ... разрядах. Она равна сумме бесконечной геометрической прогрессии  2⁻⁷ + 2⁻¹⁵ + 2⁻²³ + ... = ²/₂₅₅.  Если непериодически заменить часть единичек на нули и умножить результат на 3, получим иррациональное число, меньшее  ⁶/₂₅₅ = ²/₈₅.  Назовём такое число удобным.

  Пусть  α = ⅕ – β,  где β удобно. Тогда  α > ⅕ – ²/₈₅ > ⁷/₄₀.  При получении β мы могли заменить в 7-м разряде дроби δ единичку на 0 или оставить. Рассмотрим оба случая.

  1) Если заменили, то  α = ⅕ – 2^–8γ,  где γ удобно. Тогда  α₁ = ⅖ – 2^–7γ,  α₂ = ⅕ + 2^–6γ,  α₃ = ⅖ + 2^–5γ,  α₄ = ⅕ – 2^–4γ,  ...,  α₈ = ⅕ – γ.

  2) Если оставили, то  α = ⅕ – 3·2^–7 – 2^–8γ = ¹¹³/₆₄₀ – 2^–8γ,  где γ удобно. Тогда  α₁ = ¹¹³/₃₂₀ – 2^–7γ,  α₂ = ⁴⁷/₁₆₀ + 2^–6γ,  α₃ = ³³/₈₀ – 2^–5γ,

α₄ = ⁷/₄₀ + 2^–4γ,  α₅ = ⁷/₂₀ + 2^–3γ,  α₆ = ³/₁₀ – 2^–2γ,  α₇ = ⅖ + 2^–1γ,  α₈ = ⅕ – γ.

  В обоих случаях  α₁, α₂, ..., α₇ > ⁷/₄₀,  а α₈ – число того же вида, что и γ. Значит, и дальше всё будет хорошо.

Решение 2:   Воспользуемся сокращённой записью двоичной дроби: вместо выписывания всех её знаков будем указывать сколько одинаковых знаков стоит подряд: сначала сколько-то нулей (все наши дроби меньше ½), потом сколько единиц и т.д. Так дроби  ⅕ = 0,00110011... = 0,(0011)  соответствует сокращённая запись 222222..., дроби  ³/₁₇ = 0,(00101101) – 211211...,  а дроби  ⁷/₄₀ = ⅛·(1 + ⅖) = 0,0010(1100) – 21122222...

  Числа в сокращённой записи нетрудно сравнивать: находим первое место, где записи отличаются; если это место чётное, то больше то число, у которого на этом месте стоит бóльшая "цифра", а если нечётное, то наоборот. (Например, при сравнении  ⅕ > ³/₁₇  в сокращённой записи ⅕ на втором месте стоит бóльшая цифра, а при сравнении  ³/₁₇ > ⁷/₄₀  в сокращённой записи ³/₁₇ на пятом месте стоит меньшая цифра.)

  Указанная в условии задачи операция действует на сокращённую запись следующим образом: если первая "цифра" больше 1, то она уменьшается на единицу; единица же в начале просто стирается. Многократное же применение операции – это стирание нескольких первых цифр и (возможно) последующее уменьшение первой цифры. Полученную запись будем называть хвостом исходной.   а) Дроби ³/₁₆ соответствует сокращенная запись 22. Если в сокращённой записи числа α есть тройка, то когда-нибудь она встанет на первое место и поэтому соответствующее число α_n будет меньше ³/₁₆.

  Если же сокращённая запись числа α состоит только из единиц и двоек, то в силу бесконечности и непериодичности (обычной) двоичной записи числа в сокращённой записи есть место, где после двойки стоит единица. Когда фрагмент 21 встанет в начало записи, соответствующее число α_n станет меньше ³/₁₆.   б) Для построения примера достаточно рассматривать только числа, в двоичной записи которых нет трёх знаков подряд (то есть их сокращённые записи состоят из единиц и двоек). Нам надо подобрать сокращённую запись, все хвосты которойбольше21122222...Такой, например, будет любая запись вида112...2112...211..., где единицы стояттолько попарнои между каждыми двумя соседними парами единиц находитсянечётноечисло двоек.   Действительно, если в начале сокращённой записи хвоста стоит1или22, то все ясно.   В противном случае она имеет вид2112...211..., гдетретьяединица стоит нанечётном месте. Поэтому это число больше чем⁷/₄₀, у которого на этом месте стоит двойка.   Осталось проследить, чтобы дробь была непериодической.

б) Может.