Назад
Задача 166238 • Сложность: 3 • 9-10 класс
Задача

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A0, C0 соответственно. Докажите, что периметр треугольника A0OC0 (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.

Авторы:
Соколов А.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)
Количество версий:
4
Решение

Известно, что точки, симметричные H относительно сторон треугольника, лежат на его описанной окружности (см. задачу 155463), то есть расстояние от них до точки O равно радиусу R этой окружности. Следовательно, расстояние от H до точек Oa, Oc, симметричных O относительно BC и CA, также равно R. Поскольку и  BOa = BOc = R,  точки Oa, Oc лежат на прямой A0C0. Кроме того, BOCOa и BOAOc – ромбы, поэтому

COa || OB || AOc,  то есть ACOaOc – параллелограмм и  OaOc = AC.  Но длина отрезка OaOc по построению равна периметру треугольника A0OC0 (см. рис.).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет