Окружность треугольника ABC пересекает параллелограмм ABCD
Задача
Описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны AD и CD параллелограмма ABCD в точках K и L. Пусть M – середина дуги KL, не содержащей точку B. Докажите, что DM ⊥ AC.
Решение
Решение 1:Из условия следует, что ALCB – равнобедренная трапеция, то есть AL = AD (см. рис.). При этом прямая AM – биссектриса, а значит, и высота равнобедренного треугольника ALD. Поэтому AL ⊥ СD. Аналогично CM ⊥ AD. Следовательно, M – ортоцентр треугольника ACD, и DM ⊥ AC.
Решение 2:Из равенства вписанных углов BСK, CBA и BAL следует равенство дуг BAK и BCL. Также равны дуги LM и KM, а в совокупности эти четыре дуги дают всю окружность (см. рис.), поэтому BM – диаметр. Значит, треугольники BAM и BCM прямоугольные и BA² + AM² = BM² = BC² + CM². Следовательно, CM² – AM² = BA² – BC² = CD² – AD². Согласно задаче 157134 отсюда следует перпендикулярность прямых DM и AC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь