Перпендикуляры в trapeции ABCD: найдите точку Y

Решение 1:   Пусть XU, YV– высоты треугольников BXC, AYD (рис. слева). Тогда  ∠YAV = ∠BXU  и  ∠YAD = ∠CXU  как углы с перпендикулярными сторонами. Следовательно, треугольник AVY подобен треугольнику XUB, а треугольник DVY – треугольнику XUC. Отсюда следует, что отношение

AV : VD = CU : UB  не зависит от точки X, то есть точка Y лежит на прямой l', перпендикулярной AD. Легко видеть, что все точки этой прямой принадлежат искомому ГМТ.

           

Решение 2:   Так как прямые BX и AY перпендикулярны, то согласно задаче 157134  YB² – YA² = YX² – AX².  Аналогично  DC² – YC² = DX² – YX².  Сложив, получим, что  YB² – YC² = (DX² – AX²) + (AB² – DC²).  Разность в первой скобке постоянна по определению точки X. Следовательно (согласно той же задаче), все точки Y лежат на прямой, перпендикулярной BC.

Решение 3:   Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P. Рассмотрим гомотетию с центром в точке P, переводящую отрезок BC в отрезок AD. Пусть X' – образ X. Прямые BX и CX переходят в параллельные прямые AX' и DX'. Следовательно, углы X'AY и X'DY – прямые, то есть точки A и D лежат на окружности с диаметром X'Y. При этом точка X' движется по фиксированной прямой l', параллельной l.

  Пусть Q, R – проекции точек X', Y на AD (рис. справа). Поскольку середина диаметра X'Y проецируется в середину хорды AD, то по теореме Фалеса  AQ = DR.  Точка Q фиксирована, следовательно, Y движется по прямой, проходящей через точку R и перпендикулярной основаниям.

Прямая l', перпендикулярная основаниям трапеции и делящая отрезок AD в таком же отношении, в каком l делит CB.