Отношение деления отрезка IXY в треугольнике
Задача
В треугольнике ABC O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Прямая, проходящая через I и перпендикулярная OI, пересекает AB в точке X, а внешнюю биссектрису угла C – в точке Y. В каком отношении I делит отрезок XY?
Решение
Решение 1:ПустьIa, Ib, Ic– центры вневписанных окружностей треугольникаABC. Тогда для треугольникаIaIbIcтреугольникABCявляется ортотреугольником, а его описанная окружность ω – окружностью девяти точек. Поэтому центр описанной окружности Ω треугольникаIaIbIcнаходится в точке, симметричнойIотносительноO, а её радиус равен удвоенному радиусу ω. В Ω вписан треугольникA'B'C', полученный изABCгомотетией с центромIи коэффициентом 2. Прямаяl, проходящая черезIперпендикулярноOI, содержит хорду окружности Ω с серединой вI, также черезIпроходят хордыIaA'иIbB'(см. рис.). По теореме о бабочке (см. задачу152460) прямыеIaIbиA'B'пересекаютlв точках, симметричных относительноI, следовательно, IX:IY= 1 : 2.
Решение 2:Рассмотрим ГМТ, для которых сумма ориентированных расстояний до сторон треугольника ABC равна 3r, где r – радиус вписанной окружности. Так как ориентированное расстояние является линейной функцией координат точки, этим ГМТ будет проходящая через I прямая. Поскольку сумма проекций вектора OI на ориентированные прямые AB, BC, CA равна нулю, то эта прямая перпендикулярна OI. Так как точка Y лежит на внешней биссектрисе угла C, сумма расстояний от неё до прямых AC и BC равна нулю. Значит, расстояние от Y до AB равно 3r, то есть YX = 3IX.
Ответ
1 : 2.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь