Олимпиадные задачи по математике
Даны два треугольника <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i>, имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка <i>P</i>, лежащая внутри обоих треугольников.
Докажите, что сумма расстояний от <i>P</i> до сторон треугольника <i>ABC</i> равна сумме расстояний от <i>P</i> до сторон треугольника <i>A'B'C'</i>.
В треугольнике <i>ABC O</i> – центр описанной окружности, <i>I</i> – центр вписанной. Прямая, проходящая через <i>I</i> и перпендикулярная <i>OI</i>, пересекает <i>AB</i> в точке <i>X</i>, а внешнюю биссектрису угла <i>C</i> – в точке <i>Y</i>. В каком отношении <i>I</i> делит отрезок <i>XY</i>?