Пусть в треугольнике ABC  ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C.  Тогда высоты h_a, h_b, h_c удовлетворяют неравенству  h_a ≤ h_b ≤ h_c  и аналогичное неравенство выполнено для биссектрис l_a, l_b, l_c (см. задачу 155186). Рассмотрим два случая.

  1)  ∠B ≥ 60°.  Тогда  ∠A – ∠B ≤ ∠B – ∠C.  Поэтому  ^h_c/_lc = cos ½(∠A – ∠B) ≥ cos ½(∠B – ∠C) = ^h_a/_la.  Аналогично  ^h_c/_lc ≥ ^h_b/_lb.  Значит, из неравенства  h_c < h_a + h_b  следует, что  l_c < l_a + l_b.

  2)  ∠B ≤ 60°.  Тогда  ∠C > 30°  (так как  ∠A < 90°).   Поэтому  l_a ≥ h_a = AC sin∠C > ^AC/₂  и  l_b ≥ ^BC/₂.  Но биссектриса l_c не превосходит соответствующей медианы, которая меньше полусуммы сторон AC и BC. Следовательно,  l_c < l_a + l_b.

Ответ задачи отсутствует