Назад

Математическая задача с треугольником ABC и окружностью

Задача 166307 • Сложность: 2 • 9-10 класс
Задача

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что  ∠AIM = 90°.  В каком отношении точка I делит отрезок CW?

Авторы:
Берлов С. Л. Шарич В.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)
Количество версий:
5
Решение

Пусть Ic – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB. Так как  AIc ⊥ AI,  то  IM || AIc,  то есть IM – средняя линия треугольника ACIc. По лемме о трезубце (см. задачу 155381) W – середина IIc, следовательно,  CI = IIc = 2IW  (см. рис.).

Ответ

2 : 1.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет