Задача
Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка.
Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?
Решение
Пусть $CL$ – биссектриса, а $CH$ – высота треугольника $ABC$, причём $\angle A < \angle B$. Тогда $BC < CA$. Первый способ. По условию точка $H$ лежит на стороне $AB$, поэтому угол $B$ острый. Поскольку $\angle BCH = 90° – \angle B < 90° – \angle A = \angle ACH$, точка $H$ лежит на отрезке $BL$. По свойству биссектрисы треугольника $BH + HL = BL < LA$, то есть для отрезков $BH, HL$ и $LA$ не выполнено неравенство треугольника. Второй способ. Как известно (см. задачу 153115), биссектриса лежит между медианой и высотой. Поэтому $AL > \frac{AB}{2} > LH + HB$, что противоречит неравенству треугольника.
Ответ
Не может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь