Задача
Даны четыре натуральных числа. Каждое из данных чисел делится на наибольший общий делитель остальных трёх. Наименьшее общее кратное каждых трёх из данных чисел делится на оставшееся четвёртое. Докажите, что произведение данных чисел – точный квадрат.
Решение
Обозначим данные числа $a, b, c, d$. Пусть $p$ – произвольное простое число. Степени вхождения $p$ в данные числа обозначим $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Можно считать, что $\alpha \geqslant \beta \geqslant \gamma \geqslant \delta$.
Так как $d$ делится на $(a, b, c)$, то $\delta \geqslant \gamma$. Значит, $\gamma = \delta$.
Так как $[b, c, d]$ делится на $a$, то $\beta \geqslant \alpha$. Значит, $\alpha = \beta$.
Следовательно, $p$ входит в $abcd$ в чётной степени $2\alpha + 2\delta$. Поскольку это справедливо для любого $p$, то $abcd$ – квадрат.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь