Решение 1:Пусть $A=\overline{a_{1000}a_{999}\dots a_0}$. Поскольку $A>Z$, среди цифр $a_0,a_1,\dots,a_{499}$ есть хотя бы одна недевятка. Значит, $Z\leq Z_0= \underbrace{99\dots9}{499}8\underbrace{99\dots 9}{501}$.

Покажем, что $A-Z\geq 10^{501}-10^{499}$. Отсюда будет следовать, что $$ \frac AZ-1\geq \frac{10^{501}-10^{499}}{Z_0}; $$ эта оценка достигается при $Z=Z_0$, что и даёт ответ.

Имеем \begin{align*} A-Z &=(a_{1000}-a_0)(10^{1000}-1)+(a_{999}-a_1)(10^{999}-10)+\dots +(a_{501}-a_{499})(10^{501}-10^{499})=\ &=\phi_{499}\Delta_{499}+\phi_{498}\Delta_{498}+\dots+\phi_0\Delta_0, \end{align*} где $\phi_i=a_{501+i}-a_{499-i}$ и $\Delta_i=10^{501+i}-10^{499-i}$ при $i=0,1,\dots,499$. Заметим, что $\Delta_{i+1}>10\Delta_i$.

Пусть $j$ – наибольший индекс, при котором $\phi_j\neq 0$. Тогда \begin{align*} |\phi_j\Delta_j+\phi_{j-1}\Delta_{j-1}+\dots+\phi_0\Delta_0| &\geq |\phi_j\Delta_j|-|\phi_{j-1}\Delta_{j-1}|-\dots-|\phi_0\Delta_0|\geq\ &\geq \Delta_j\left(1-\frac9{10}-\frac9{100}-\dots-\frac9{10^j}\right) =\frac{\Delta_j}{10^j}\geq\Delta_0, \end{align*} что и требовалось.

Решение 2: Ясно, что можно минимизировать (положительное) число $\frac AZ-1 = \frac{A-Z}Z$.

Пронумеруем цифры в $A$ слева направо $a_1,a_2,\dots,a_{1001}$. Пусть $k$ – наименьший номер, для которого $a_k\neq a_{1002-k}$ (тогда $k\leq 500$ и $a_k > a_{1002-k}$, ибо $A > Z$).

Рассмотрим произвольный оптимальный пример. Заменим первые и последние $k-1$ цифр на девятки. $A-Z$ не изменится, $Z$ не уменьшится, то есть наша дробь не увеличится. По этой же причине $a_{501}$ можно заменить на 9.

Заменим $a_k$ на 9, а $a_{1002-k}$ на 8. При этом $A-Z$ не увеличится, а $Z$ не уменьшится.

Заменим все цифры $a_{k+1},\dots,a_{500}$ на нули, а $a_{502},\dots,a_{1001-k}$ на девятки. Тогда $A-Z$ не увеличится, а $Z$ если и уменьшится, то на меньшую величину (это произойдёт только тогда, когда вторая половина и так была девятками!). Поскольку в оптимальном примере $A-Z < Z$ (в первом просто меньше цифр), то, ясно, $\frac{A-Z}Z$ не возрастёт.

Итак, можно считать, что $A$ имеет вид $$\underbrace{99\dots9}k\underbrace{00\dots0}{500k}9\underbrace{99\dots9}{500-k}8\underbrace{99\dots 9}{k-1}.$$ В этом случае $$A-Z=10^{501}+10^{500}-10^k-10^{k-1}.$$ Это выражение достигает минимума при $k=500$, и при этом же $k$ достигается максимум значения рассматриваемых $Z$. Значит, это и есть ответ.

При $A$, запись которого (слева направо) такая: 501 девятка, восьмёрка, 499 девяток.