Задача
Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – a/2)².
Решение
Положим b = a/2, t = x – b и q(t) = p(b + t). q(– t) = p(b – t) = p(2b – x) = p(x) = p(b + t) = q(t) (то есть q – чётная функция). Значит,
q(t) = ½ (q(t) + q(– t)). При сложении q(t) и q(– t) все нечётные степени , очевидно, сократятся, то есть q(t) = h(t²). Следовательно,
p(x) = q(t) = h(t²) = h((x – b)²).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет