Трёхзначное число, степени которого заканчиваются на те же цифры

Ответ:376 и 625.

ПустьN— искомое число. ТогдаN²-N=N(N- 1) делится на 1000. ЧислаNиN- 1 взаимно простые, поэтому одно из них делится на 8, а другое на 125. Пусть сначалаN= 125k. Тогдаk$\le$8. Среди чисел 125k- 1,k= 1,..., 8, только число 624 делится на 8. Пусть теперьN- 1 = 125k. ТогдаN= 125k+ 1, поэтомуk$\le$7. Среди чисел 125k+ 1,k= 1,..., 7, только число 376 делится на 8.

ЕслиN²-N=N(N- 1) делится на 1000, тоN^k-N=N(N^{k - 1}- 1) тоже делится на 1000, посколькуN^{k - 1}- 1 делится наN- 1.

Ответ задачи отсутствует