ПустьA— данное натуральное число. Покажем, что натуральное числоnможно выбрать так, что10^mA< 2ⁿ< 10^m(A+ 1), т.е.m+ lg A<nlg 2 <m+ lg(A+ 1). Эквивалентное условие таково: существуют натуральные числаmиn, для которыхlg A<nlg 2 -m< lg(A+ 1). Число lg 2 иррационально. (Действительно, предположим, что lg 2 =p/q, гдеpиq— натуральные числа. Тогда10^p/q= 2, т.е. 10^p= 2^q. Этого не может быть.) Поэтому остаётся доказать следующее утверждение: `` Пусть$\alpha$— иррациональное число. Тогда для любых чиселa<bможно выбрать целые числаmиn, для которыхa<m$\alpha$-n<b.''

Пусть$\Delta$=b-a. Для каждого целого числаmможно выбрать целое числоnтак, что0$\le$m$\alpha$-n$\le$1. Разделим отрезок [0, 1] на равные отрезки, длина каждого из которых меньше$\Delta$. Пусть количество этих отрезков равноk. Тогда среди чисел$\alpha$-n₁,2$\alpha$-n₂, ...,(k+ 1)$\alpha$-n_{k + 1}есть два числа, принадлежащих одному и тому же отрезку. Вычтем из большего числа меньшее:p$\alpha$-n_p- (q$\alpha$-n_q) =t. Ясно, что0$\le$t<$\Delta$. Более того,t$\ne$0, поскольку иначе$\alpha$=${\frac{n_p-n_q}{p-q}}$— рациональное число. Рассмотрим числа видаNt, гдеN— целое число. Каждое из этих чисел имеет видm$\alpha$-n. А из того, что0 <t<$\Delta$, следует, что хотя бы одно из этих чисел расположено строго междуaиb.

Ответ задачи отсутствует