Шесть ненулевых цифр в числе, делящемся на 10101010101

  Если число A, делящееся на 10101010101, имеет не более 12 цифр, то оно имеет вид  abababababab,  и задача решена. Остаётся свести задачу к этому случаю.

  Число 10101010101 обозначим через M.   Лемма. Если A делится на M и имеет больше 12 цифр (считая нули), то найдётся число B, также кратное M, меньшее A и имеющее не больше ненулевых цифр, чем A.

  Доказательство. Пусть  A = a₁a₂...a_n.  Вычеркнем его первую цифру a₁ и прибавим её же на 12 разрядов ниже. Полученное число будет меньше исходного: легко проверить, что мы просто вычли из числа A число  a₁(10^n–1 − 10^n–13).  В скобках стоит произведение  10^n–13(10¹² − 1);  второй сомножитель делится на M (это число из 12 девяток), так что разность делится на M. Остаётся заметить, что в получившемся числе значащих (не нулевых) цифр не больше, чем в исходном.   Теперь, если A делится на M, вычтем из A его первую цифру, умноженную на  10^n–13(10¹² − 1).  С полученным числом проделаем ту же операцию и будем поступать так до тех пор, пока не доберёмся до 12-значного числа. Так как в нём не меньше шести значащих цифр, то и в A не меньше шести значащих цифр.

Ответ задачи отсутствует