а) См. решение задачи178830. б) Докажем, что если проведеноn≥ 3 прямых, то число треугольников не меньше${\frac{2n-2}{3}}$. Рассмотрим все точки пересечения данных прямых. Докажем, что эти точки могут лежать по одну сторону не более чем от двух данных прямых. Предположим, что все точки пересечения лежат по одну сторону от трёх данных прямых. Эти прямые образуют треугольникABC. Четвёртая прямая не может пересекать только стороны этого треугольника, т.е. она пересекает хотя бы одно продолжение стороны. Пусть для определённости она пересекает продолжение стороныABза точкуBв некоторой точкеM. Тогда точкиAиMлежат по разные стороны от прямойBC. Получено противоречие. Поэтому имеются по крайней мереn- 2 прямые, по обе стороны от которых лежат точки пересечения.

Если мы выберем в полуплоскости, заданной прямойl, ближайшую кlточку пересечения, то эта точка будет вершиной треугольника, прилегающего к прямойl. Таким образом, имеется не менееn- 2 прямых, к которым прилегает по крайней мере по два треугольника, и две прямые, к каждой из которых прилегает хотя бы один треугольник. Так как каждый треугольник прилегает ровно к трём прямым, то треугольников не менее (2(n − 2) + 2)/3. Приn= 1000 получаем не менее 1999${\frac{1}{3}}$треугольников. Значит, количество треугольников не меньше 2000.

Ответ задачи отсутствует