Задача
На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости найдётся точкаA, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных прямых.
Решение
Возьмём произвольную точкуOи выберем числоr> 0 так, чтобы окружность радиусаrс центромOсодержала все данные точки и пересекала все данные прямые. Проведём через точкуOпрямуюl, не перпендикулярную ни одной из данных прямых. Пусть точкаAрасположена на прямойlи удалена от точкиOна расстояниеR. Тогда расстояние отAдо любой из данных точек не меньшеR−r, а расстояние отAдо любой из данных прямых не больше (R+r)sin φ, где φ — наибольший из углов между прямойlи данными прямыми. ЕслиRдостаточно велико, тоR−r> (R+r)sinφ. Действительно, это неравенство эквивалентно неравенствуR>${\frac{1+\sin\varphi }{1-\sin\varphi }}$r.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь