Олимпиадная задача про нестандартную игральную кость Пети: стереометрия и принцип крайнего
Задача
Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?
Решение
Расставим шесть чисел (по количеству точек на гранях куба) в порядке возрастания. Докажем, что среди них нет трёх подряд идущих чисел. Допустим, что такие три числа есть: a, a + 1 и a + 2. Тогда числа a и a + 1 должны стоять на противоположных гранях куба. Куда бы теперь ни поставили число a + 2, оно будет стоять рядом с a + 1. Противоречие.
Итак, нам надо найти последовательность из шести чисел с минимальной суммой, в которой нет трёх подряд идущих чисел. Эта последовательность 1, 2, 4, 5, 7, 8, а общее число точек равно 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27. Пример их расположения на гранях куба изображён на рисунке.
Ответ
27 точек.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь