Олимпиадные задачи из источника «15 турнир (1993/1994 год)»

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Точка <i>A</i>₁ диаметрально противоположна точке <i>A</i>, точка <i>A</i>₀ – середина стороны <i>BC</i>, точка <i>A</i>₂ симметрична точке <i>A</i>₁ относительно точки <i>A</i>₀. Точки <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ определяются аналогично. Докажите, что точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ совпадают.

Из точки <i>O</i>, лежащей внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>, проведены отрезки ко всем вершинам: <i>OA</i>₁, <i>OA</i>₂, ..., <i> OA_n </i>. Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами <i>n</i>-угольника – острые, причём  ∠<i>OA</i>₁<i>A_n</i> ≤ ∠<i>OA</i>₁<i>A</i>₂,  ∠<i>OA</i>₂<i>A</i><sub>1&...

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.

Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.

Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

Внутри квадрата <i>ABCD</i> лежит квадрат <i>PQRS</i>. Отрезки <i>AP, BQ, CR</i> и <i>DS</i> не пересекают друг друга и стороны квадрата <i>PQRS</i>.

Докажите, что сумма площадей четырёхугольников <i>ABQP</i> и <i>CDSR</i> равна сумме площадей четырёхугольников <i>BCRQ</i> и <i>DAPS</i>.

Рассматривается выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: <i>AB</i> и <i>CD</i> – в точке <i>P, CB</i> и <i>DA</i> – в точке <i>Q</i>. Пусть <i>l_A, l_B, l_C</i> и <i>l_D</i> – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно <i>A, B, C, D</i>. Пусть <i>l_P</i> и <i>l_Q</i> – внешние биссектрисы углов соответственно <i>A_PD</i> и <i>A_QB</i> (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Существует ли такой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (<i>P</i>(<i>x</i>))^<i>n</i>,  <i>n</i> > 1,  положительны?

<i>D</i>– точка на стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>. B треугольники<i>ABD, ACD</i>вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от<i>BC</i>), пересекающая<i>AD</i>в точке<i>K</i>. Докажите, что длина отрезка<i>AK</i>не зависит от положения точки<i>D</i>на<i>BC</i>.

В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что

  а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих;

  б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. В точке <i>A</i> к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Прямые <i>BM</i> и <i>BN</i> пересекают окружности еще раз в точках <i>P</i> и <i>Q</i> (<i>P</i> – на прямой <i>BM, Q</i> – на прямой <i>BN</i>). Докажите, что отрезки <i>MP</i> и <i>NQ</i> равны.

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).

  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?

  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем &frac13; площади всего многоугольника.   в) Можно ли в пункте б) заменить число &frac13; на большее? (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

{<i>a_n</i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт  1 – |1 – 2<i>x</i>|.

  а) Докажите, что если <i>a</i>₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.

  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i>₁ рационально.

Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел <i>x, y, z</i>, что   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³?

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:

  а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;

&nbsp б) перевернуть четыре фишки, расположенные так:  ××0××  (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).

Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?

Имеется шоколадка с пятью продольными и восемью поперечными углублениями, по которым её можно ломать (всего получается  9·6 = 54  дольки). Играют двое, ходят по очереди. Играющий за свой ход отламывает от шоколадки полоску ширины 1 и съедает её. Другой играющий за свой ход делает то же самое с оставшейся частью, и т. д. Тот, кто разламывает полоску ширины 2 на две полоски ширины 1, съедает одну из них, а другую съедает его партнер. Докажите, что начинающий игру может действовать таким образом, что ему достанется по крайней мере на 6 долек больше, чем второму.

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, ...  такова, что для каждого <i>n</i> уравнение  <i>a</i>_<i>n</i>+2<i>x</i>² + <i>a</i>_<i>n</i>+1<i>x</i> + <i>a_n</i> = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть

  а) равным 10;

  б) бесконечным?

В каждой целой точке числовой оси расположена лампочка с кнопкой, при нажатии которой лампочка меняет состояние – загорается или гаснет. Вначале все лампочки погашены. Задано конечное множество целых чисел – шаблон <i>S</i>. Его можно перемещать вдоль числовой оси как жесткую фигуру и, приложив в любом месте, поменять состояние множества всех лампочек, закрытых шаблоном. Докажите, что при любом <i>S</i> за несколько операций можно добиться того, что будут гореть ровно две лампочки.

Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?

В таблице

    0 1 2 3 ... 9

    9 0 1 2 ... 8

    8 9 0 1 ... 7

        ...

    1 2 3 4 ... 0

отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.

Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

Каждый из 450 депутатов парламента дал пощёчину ровно одному своему коллеге.

Докажите, что можно избрать парламентскую комиссию из 150 человек, среди членов которой никто никого не бил.

Ученик не заметил знака умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше.

Найти эти числа.

На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди каждых десяти из них есть не меньше трёх одноклассников.

Докажите, что среди кружковцев найдётся по меньшей мере 15 учеников, которые учатся в одном классе.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Известно, что уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>bx</i> + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 8.