Олимпиадная задача о четырех кузнечиках в вершинах квадрата для 8-10 классов
Задача
В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)
Решение
Пусть кузнечик приземлился на другого на n-м ходу. Можно считать, что координаты вершин исходного квадрата: (0, 0), (0, 3n), (3n, 3n) и (3n, 0). Тогда все координаты кузнечиков – целые: степень тройки, на которую делится, например, абсцисса центра тяжести только на единицу меньше степени тройки, на которую делится НОД абсцисс кузнечиков. Кроме того, чётность абсциссы (и, аналогично, ординаты) каждого кузнечика сохраняется, поскольку полусумма абсцисс кузнечика до и после прыжка – целое число. Следовательно, координаты двух кузнечиков после n ходов совпасть не могут. Противоречие.
Ответ
Не может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь