Олимпиадная задача: Докажите свойство суммы шестых степеней и произведения чисел

   Пусть  a⁶ + b⁶ + c⁶ + d⁶ + e⁶ + f ⁶ = 6abcdef + 1.

   Согласно задаче 161005 г)  x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – xz – yz).  Отсюда

      1 = a⁶ + b⁶ + c⁶ + d⁶ + e⁶ + f ⁶ – 6abcdef = (a⁶ + b⁶ + c⁶ – 3a²b²c²) + (d⁶ + e⁶ + f ⁶ – 3d⁶e⁶f ⁶) + 3(a²b²c² + d²e²f ² – 2abcdef) =

         = (a² + b² + c²)(a⁴ + b⁴ + c⁴ – a²b² – a²c² – b²c²) + (d² + e² + f ²)(d⁴ + e⁴ + f ⁴ – d²e² – d²f ² – e²f ²) + 3(abc – def)².

   Все три слагаемых в правой части неотрицательны (см. задачу 130865). Поэтому два из них равны нулю, а одно – единице. Пусть единице равно первое слагаемое. Тогда  a² + b² + c² = 1,  а  d² + e² + f ² = 0.  Значит, одно из чисел a, b, c равно 1, а остальные пять чисел равны нулю.

   Если единице равно второе слагаемое, ситуация аналогична. Третье слагаемое равняться единице не может.

Ответ задачи отсутствует