Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс»

Фигура Ф представляет собой пересечение <i>n</i> кругов  (<i>n</i> ≥ 2,  радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф?  (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.

Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

Периоды двух последовательностей – 7 и 13. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Можно ли из последовательности  1, ½, &frac13;, ... выбрать (сохраняя порядок)

  а) сто чисел,

  б) бесконечную подпоследовательность чисел,

из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (<i>a_k = a</i>_<i>k</i>–2 – <i>a</i>_<i>k</i>–1)?

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

Взаимно перпендикулярные прямые <i>l</i> и <i>m</i> пересекаются в точке <i>P</i> окружности так, что они разбивают окружность на три дуги. Отметим на каждой дуге такую точку, что проведённая через неё касательная к окружности пересекается с прямыми <i>l</i> и <i>m</i> в точках равноотстоящих от точки касания. Докажите, что три отмеченные точки являются вершинами равностороннего треугольника.