Олимпиадная задача о гирях и весах: решение задачи по системе счисления, 8-9 класс

Решение 1:   Остаток от деления числа 11111 на 64 равен 39. Сумма весов всех выложенных гирь при делении на 64 даёт остаток  1 + 2 + ... + 32 = 63  (очевидно, первые 6 гирь были выложены). Поэтому остаток от деления на 64 общей массы, лежащей на весах, равен 38. Следовательно, остаток от деления на 32 массы, лежащей на каждой чаше, равен 19. Сумма  1 + 2 + … + 16  меньше 32, поэтому общая масса тех из первых пяти гирь, которые лежат на левой чаше равна 19. Очевидно, это гири массой 1 г, 2 г и 16 г.

Решение 2:   Пусть равновесие наступило, когда на весы положена всего  n + 1  гиря – некоторые на левую, некоторые на правую чашу весов:

11111 + 2^b₁ + 2^b₂ + ... + 2^b_k  = 2^a₁ + 2^a₂ + ... + 2^a_p,  причём  k + p = n + 1  и среди чисел a₁, a₂, ... , a_p, b₁, b₂, ... , b_k встречаются по одному разу все числа от 1 до  n + 1.  Прибавив к обеим частям сумму  2^b₁ + 2^b₂ + ... + 2^b_k,  получим  11111 + 2(2^b₁ + 2^b₂ + ... + 2^b_k) = 2ⁿ⁺¹ – 1,  или

5556 + 2^b₁ + 2^b₂ + ... + 2^b_k = 2n = 1 + 2⁰ + 2¹ + ... + 2^n–1.  Следовательно,  5555 = 2^c₁ + 2^c₂ + ... + 2^c_n–k ,  где c₁, c₂, ..., c_n–k – целые числа от 0 до  n – 1,  отличные от чисел b₁, b₂, ... , b_k.

  5555 = 4096 + 1024 + 256 + 128 + 32 + 16 + 2 + 1 = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰  (как известно, такое разложение по степеням двойки единственно). Поскольку число 16 здесь есть, то среди чисел 2^b₁, ... , 2^b_k его нет. Следовательно, оно среди чисел 2^a₁, ... , 2^a_p, то есть 16-граммовая гиря лежит на левой чаше весов.

На левую.