Олимпиадная задача по теории чисел: сумма цифр куба и числа, Гальперин Г. А.

Решение 1:По условию  10^n–1 ≤ a < 10ⁿ,  следовательно,  10^3n–3 ≤ a³ < 10³ⁿ.  В записи чисел  10^3n–3  и 10³ⁿ соответственно  3n – 2  и  3n + 1  цифр, поэтому

3n – 2 ≤ m < 3n + 1,  откуда  4n – 2 ≤ n + m < 4n + 1.  Таким образом,  n + m  не может давать остаток 1 при делении на 4, в частности, не может равняться 2001.

Решение 2:Ясно, что сумма  n + m  не убывает с ростом a. Число 10⁵⁰⁰ – наименьшее 501-значное число, а его куб 10¹⁵⁰⁰ – наименьшее 1501-значное число. Для этого числа  n + m = 2002.  Если же уменьшить число 10⁵⁰⁰ на единицу, то мы получим 500-значное число  10⁵⁰⁰ – 1,  куб которого имеет не более 1500 знаков, то есть  n + m ≤ 2000.  Таким образом, промежуточное значение  n + m = 2001  не реализуется ни для какого натурального a.

Не может.