Олимпиадная задача по теории чисел: наибольший общий делитель, 7-9 класс

  Пусть  a = 2000m + n,  b = 2000n + m,  d = НОД(a, b).  Тогда d делит также числа  2000a – b = (2000² – 1)m  и  2000b – a = (2000² – 1)n.  Поскольку m и n взаимно просты, то d делит  2000² – 1.

  С другой стороны, при  m = 2000² – 2000 – 1,  n = 1,  получаем  a = (2000² – 1)(2000 – 1),  b = 2000² – 1 = d.