Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности с центром <i>O</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>AKB</i> и <i>CKD</i> соответственно. Докажите, что  <i>OM = KN</i>.

Можно ли расположить бесконечное число равных выпуклых многогранников в слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, так чтобы ни один многогранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая остальных?

В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных один раз. Назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья – ½, поражение – 0.) Могут ли неправильные партии составлять

  а) более 75% от общего количества партий в турнире;

  б) более 70%?

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Вычислите $$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) , dx.$$

Наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i> равен 1. Каково наибольшее возможное значение  НОД(<i>m</i> + 2000<i>n</i>, <i>n</i> + 2000<i>m</i>)?