Олимпиадная задача Феди про палочки: треугольник и бесконечный процесс (8–11 класс)
Задача
У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Решение
Многочлен P(x) = x³ – x² – x – 1 имеет корень t > 1, поскольку P(1) < 0, а P(2) > 0. Тогда t³ = t² + t + 1 > t² + t. Возьмём длины палочек равными t³, t², t. После первого отпиливания получим палочки с длинами t², t, 1. Так как отношение длин не изменилось, процесс будет продолжаться бесконечно.
Ответ
Может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет