Олимпиадная задача по планиметрии: максимум суммы OM+ON в треугольнике ABC
Задача
На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M и N середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы OM + ON, когда угол ACB меняется.
Решение
Пусть ABDE – построенный квадрат, а ∠C = γ.
OM – средняя линия треугольника ACD, значит, CD = 2OM. Аналогично CE = 2ON. Поэтому достаточно найти максимум CD + CE = 2(OM + ON). Первый способ. На стороне BC треугольника ABC построим внешним образом квадрат CBD1E1 (см. рис.). Треугольники ABD1 и DBC равны по двум сторонам и углу между ними. Значит CD = AD1.
. Кроме того, ∠ACD1 = γ + 45°. Третья сторона AD1 принимает максимальное значение, когда треугольник вырождается в отрезок. Поэтому CD достигает максимума, равного b + a, при γ = 135°. Аналогично CE достигает максимума, равного a + b при том же значении γ.
Итак, каждая из величин OM, ON достигает максимума при
γ = 135°. Значит, и их сумма максимальна при γ = 135°: max (OM + ON) = 
(a + b).
Второй способ. Обозначим ∠A = α, ∠B = β, AB = c, CD = d, CE = e. По теореме косинусов c² = a² + b² – 2ab cos γ,
e² = b² + c² – 2bc cos(90° + α) = b² + c² + 2bc sin α. Подставив c² из первой формулы во вторую и воспользовавшись теоремой синусов, получим:
e² = 2b² + a² – 2ab cos γ + 2bc sin α = 2b² + a² + 2ab(sin γ – cos γ). Аналогично, d² = 2a² + b² + 2ab(sin γ – cos γ). Отсюда следует, что максимум d и e достигается одновременно с максимумом выражения sin γ – cos γ, то есть при γ = 135°. Значит, и d + e максимально при γ = 135°. Третий способ. По неравенству Птолемея (см. задачу 157373) CD·AB ≤ BC·AD + AC·BD, т.е. 
Равенство достигается, когда четырёхугольник ACBE вписанный. Далее как в первом способе.
Ответ
(a + b).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь