Олимпиадная задача: равенство диагоналей в выпуклом семиугольнике. Планиметрия 8–9 класс

Решение 1:Равнобедренные трегольники A₁A₃A₅ и A₃A₅A₇ равны по трём сторонам. Поэтому  ∠A₃A₁A₅ = ∠A₃A₇A₅,  то есть точки A₁, A₃, A₅ и A₇ лежат на одной окружности. Аналогично на одной окружности лежат точки A₃, A₅, A₇ и A₂. Однако это – та же окружность. Так продолжая, получаем, что все вершины лежат на этой окружности. Ясно, что они делят её на семь равных дуг (например,  ⌣A₁A₂ = ⌣A₁A₄ – ⌣A₂A₄ = ⌣A₂A₅ – ⌣A₃A₅ = ⌣A₂A₃).  Таким образом, семиугольник не только равносторонний, но и правильный.

Решение 2:Равны все равнобедренные трегольники вида A_iA_i+2A_i+4 (см. рис.; мы считаем  A₈ = A₁,  A₉ = A₂  и т.д.). Поэтому равны все углы вида A_iA_i+3A_i+1 (как разности углов A_i+1A_i+3A_i+5 и A_iA_i+3A_i+5). Значит, равны и все трегольники A_iA_i+3A_i+1 (по двум сторонам и углу между ними), и, следовательно, равны и все отрезки A_iA_i+1.

Обязательно.