Олимпиадная задача: три натуральных числа и сумма цифр в примерах и контрпримерах
Задача
Обозначим S(x)сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5, S(a+c)<5и S(b+c)<5, но S(a+b+c)>50?
Решение
Подойдут, например, числа a=5555554445, b=5554445555, c=4445555555. Убедимся в этом: S(a+b)=S(11110000000)<5, S(a+c)=S(10001110000)<5, S(b+c)=S(10000001110)<5, S(a+b+c)=S(15555555555)=51>50.
Как можно найти такие числа? Заметим, что S(2(a+b+c))=S((a+b)+(a+c)+(b+c))
S(a+b)+S(a+c)+S(b+c)12, т.е.
число n=2(a+b+c)при делении на 2 должно резко увеличивать свою сумму
цифр. Такое возможно, если в числе много единиц, тогда в частном появится
много пятерок. Возьмем, например, n=31111111110, тогда S(n)=12,
а S(
)=51. Разложим n на три слагаемых с суммой
цифр 4 и меньших : n=11110000000+10001110000+10000001110, а затем решим систему уравнений a+b=11110000000, a+c=10001110000, b+c=10000001110.
Ответ
Найдутся.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь