Олимпиадная задача: Совпадение многочленов с неотрицательными коэффициентами, 10-11 класс

  Предположим что  f ≠ g:   f(x) = c_nxⁿ + c_n–1x^n–1 + ... + c₁x + c₀  и  g(x) = d_kx^k + d_k–1x^k–1 + ... + d₁x + d₀.  Поскольку  0 ≤ c_i ≤ m < b,  в b-ичной системе счисления число  f(b) будет записываться как  c_nc_n–1...c₁c₀.  Если все коэффициенты многочлена g также меньше b, то из единственности записи числа

f(b) = g(b)  в b-ичной системе счисления мы можем заключить, что коэффициенты многочленов  f и g совпадают, а значит,  f = g.  Но это противоречит предположению.

  Пусть i – наименьший номер, для которого  d_i > b.  Тогда  d_i = bq + r.  Рассмотрим вместо многочлена g новый многочлен g₁, у которого коэффициент d_i заменён на r, а коэффициент d_i+1 – на  d_i+1 + q.  Тогда  g₁(b) = g(b),  а  g₁(a) < g(a),  ибо

d_iaⁱ + d_i+1aⁱ⁺¹ = (bq + r)aⁱ + d_i+1aⁱ⁺¹ > (aq + r)aⁱ + d_i+1aⁱ⁺¹ = raⁱ + (d_i+1 + q)aⁱ⁺¹.  Далее продолжим эту процедуру со следующим номером i. На каждом шаге i увеличивается, поэтому не более чем через n шагов процесс остановится, и мы придём к некоторому многочлену g_j, у которого все коэффициенты будут целыми неотрицательными и меньшими b. Тогда, как показано выше, многочлены  f и g_j совпадают. Но это невозможно, ибо   f(a) = g(a) > g_j(a). Противоречие.

Ответ задачи отсутствует