Задачи Подборки Авторы

Олимпиадная задача Протопопова: последовательности и делимость, 9–11 классы

Задача 209804 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Задача

Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁, a₂, a₃, ... удовлетворяет соотношению a_m + a_n = a_mn при любых натуральных m, n.

Докажите, что не все её члены различны.

Решение

Предположим противное. Полагая m = n = 1, получаем a₁ + a₁ = a₁, то есть a₁ = 0. Поэтому все остальные члены ненулевые. Пусть a₂ = ^p/_q, a₃ = ^r/_s. Из условия следует, что поэтому но 2^qr ≠ 3^ps. Противоречие.