Олимпиадная задача: Сколько десятизначных чисел делятся на 11111 и все цифры различны
Задача
Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?
Решение
Все цифры интересного числа различны, поэтому их сумма равна 45, и число делится на 9. Значит, оно делится на 99999.
Рассмотрим интересное число X = a9...a0 = 105·a9...a5 + a4...a0 = 99999·a9...a5 + a9...a5 + a4...a0.
Мы видим, что сумма a9...a5 + a4...a0 делится на 99999. Но эта сумма меньше, чем 2·99999, поэтому она равна 99999. Значит,
a0 + a5 = a1 + a6 = ... = a4 + a9 = 9.
Очевидно, верно и обратное: число с такими (различными) цифрами будет интересным.
Итак, последние пять цифр интересного числа полностью определяются пятью его первыми цифрами, а первые пять цифр нужно выбирать так, чтобы никакие две из них не давали в сумме 9 и a9 не равнялось нулю.
Следовательно, цифру a9 можно выбрать девятью способами, цифру a8 – восемью (нельзя выбирать a9 и 9 – a9), после этого a7 – шестью способами, a6 – четырьмя и a5 – двумя. Отсюда получаем 9·8·6·4·2 = 3456 возможностей.
Ответ
3456 чисел.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь