Олимпиадная задача по стереометрии и теории множеств для 10-11 класса (Дольников, Игонин)
Задача
В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n-3точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n-3точек.
Решение
Обозначим через M исходное множество из n точек. Пусть A – произвольное подмножество из n-3точек. Возьмем точку x из множества M , не принадлежащую A . Через x и остальные точки множества M проведем n-1прямую и возьмем прямую, не пересекающую A . Через эту прямую и оставшиеся n-2точки множества M проведем n-2плоскости. Одна из плоскостей не пересекает A , так как плоскостей n-2, а множество A состоит из n-3элементов. Эта плоскость и является искомой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь