Олимпиадная задача по теории чисел: делимость произведения и суммы для 8-10 классов
Задача
Три натуральных числа таковы, что произведение каждых двух из них делится на сумму этих двух чисел.
Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.
Решение
Обозначим эти числа a, b и c. Положим x = НОД(b, c), y = НОД(c, a) и z = НОД(a, b). Предположим, что числа a, b и c не имеют общего делителя, большего единицы. Тогда числа x, y и z попарно взаимно просты. Поэтому a = kyz, b = lxz и c = mxy, где k, l и m – некоторые натуральные числа. Из определения наибольшего общего делителя следует, что числа ky и lx взаимно просты. По условию kyzlxz кратно kyz + lxz, значит, kylxz кратно ky + lx. Заметим, что НОД(ky, ky + lx) = НОД(ky, lx) = 1 и аналогично НОД(lx, ky + lx) = 1. Таким образом, z кратно ky + lx. Стало быть, z ≥ ky + lx ≥ x + y.
Рассуждая аналогично, получим, что x ≥ y + z и y ≥ x + z. Но эти три неравенства не могут выполняться одновременно. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь