Олимпиадная задача по математике: Разбиение правильного 2006-угольника Канель-Белов в треугольники с хорошими сторонами

  Назовём равнобедренный треугольник хорошим, если у него две хороших стороны. Рассмотрим разбиение, удовлетворяющее условиям задачи. С помощью индукции легко убедиться в справедливости следующего утверждения.   Лемма. Пусть AB – одна из диагоналей разбиения и L – более короткая часть границы P, на которую её делят точки A, B. Если L состоит из n отрезков, то количество хороших равнобедренных треугольников разбиения с вершинами на L не превосходит ⁿ/₂.   Рассмотрим длиннейшую диагональ разбиения. Пусть L_xy – более короткий участок границы, с концами X и Y. Пусть XYZ – треугольник разбиения, причём Z не принадлежит L_xy. Заметим, что треугольник XYZ – остроугольный или прямоугольный (иначе XZ либо YZ будет длиннее XY).

  Обозначим L_xz, L_yz соответствующие участки границы P. Применив лемму к L_xz, L_yz, L_xy, мы видим, что имеется не более  1003 = 2006 : 2  равнобедренных хороших треугольников, за исключением треугольника XYZ (если он таков). Однако если треугольник XYZ хороший, неравенства, получающиеся из леммы, окажутся строгими. Итак, количество хороших равнобедренных треугольников разбиения не превосходит 1003.

  С другой стороны, соединяя вершины P через одну, легко построить пример разбиения с 1003 хорошими треугольниками.

Ответ задачи отсутствует