Олимпиадная задача Агаханова: раскраска чисел в 2009 цветов, теория множеств

  Приведём один из возможных вариантов такой раскраски. Пусть  p₁ < p₂ < ... < p₂₀₀₈  – простые числа. Построим множества A₁, A₂, ..., A₂₀₀₉ по следующему правилу: в A₁ включим все натуральные числа, кратные p₁; в A₂ – все натуральные числа, делящиеся на p₂, но кратные p₁; в A₃ – все натуральные числа, делящиеся на p₃, но не кратные ни p₁, ни p₂; ...; в A₂₀₀₈ – все натуральные числа, кратные p₂₀₀₈, но не кратные ни одному из чисел p₁, p₂, ..., p₂₀₀₇. Наконец, в A₂₀₀₉ включим все остальные натуральные числа.

  Тогда для любых чисел  x ∈ A_k,  y ∈ A_n,  где  k < n,  их произведение принадлежит множеству A_k, поэтому при таком разбиении натуральных чисел на множества разноцветной тройки чисел, произведение двух из которых равно третьему числу, найти не удастся.

Можно.