Олимпиадная задача по планиметрии: перпендикулярность прямой PQ и AB, 8–11 класс
Задача
Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q.
Докажите, что PQ ⊥ AB.
Решение
Решение 1:Так как ABCD – прямоугольник, то 
(это очевидное следствие задачи 154405). Но
Аналогично 
Следовательно, 
Решение 2:Пусть Q' – образ Q при переносе на вектор 
Тогда CQ' || BQ ⊥ DP, DQ' ⊥ CP. Следовательно, P – ортоцентр треугольника CDQ' , и
PQ' ⊥ CD.
Решение 3:Пусть U, V – проекции A и B на PC и PD соответственно. Тогда точки U и V лежат на описанной окружности четырёхугольника ABCD, и, применив к ломаной AUCBVD теорему Паскаля (см. задачу 157105), получим утверждение задачи (см. рис.).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь