Олимпиадная задача по планиметрии: равнобокая трапеция в остроугольном треугольнике
Задача
Дан остроугольный треугольник ABC; AA1, BB1 – его высоты. Из точки A1 опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B1 опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
Решение
Пусть A1A2 и A1A3 (B1B2 и B1B3) – перпендикуляры, опущенные из точки A1 (B1) соответственно на прямые AC (BC) и AB. Как известно (см зад. 56508), треугольник B1CA1 подобен треугольнику ABC. Треугольник A2CB2, в свою очередь, подобен треугольнику B1CA1, а значит, и треугольнику ABC. Поэтому прямые A2B2 и AB параллельны, т.е. A2B2A3B3 – трапеция.
Опустим перпендикуляры OD и OE из середины O отрезка A1B1 на основания трапеции A2B2 и A3B3. Так как углы A1A2B1 и B1B2A1 прямые, O – центр окружности, описанной около четырёхугольника B1A2B2A1. Поэтому D – середина A2B2. Отрезок OE параллелен основаниям трапеции A1A3B3B1 и потому является её средней линией. Значит, E – середина A3B3. Таким образом, трапеция A2B2A3B3 симметрична относительно DE и, следовательно, равнобока.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь