Олимпиадная задача: делимость рациональных выражений — 8-9 класс, Подлипский О. К.

  Подставив  n = 1  и  n = 2,  получаем, что числа 15a и 48a – целые. Значит, и число  48a – 3·15a = 3a  – тоже целое. Таким образом,  a = ^k/₃  для некоторого целого k.

  Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чётных (или нечётных) чисел

n,  n + 2,  n + 4  делится на 3; значит,  n(n + 2)(n + 4)  делится на 3, а поэтому  an(n + 2)(n + 4) = ⅓ kn(n + 2)(n + 4)  – целое число.

a = ^k/₃,  где k – любое целое число.